<T->
          Matemtica e realidade
          6 ano
            
          Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado
          
          Impresso Braille em 
          8 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          6 edio -- 2009, 
          So Paulo,  
          Editora Atual.

          Segunda Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
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          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,  
          -- 2011 --
<P>
          (C) Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado, 2009.

          ISBN 978-85-357-1063-2
  
          Gerente editorial: 
          Lauri Cericato 
          Editora: Teresa Christina W. P. de Mello Dias 
          Editora assistente: 
          Edilene Martins dos Santos 
          Licenciamento de textos: 
          Stephanie Santos Martini 
          
          Todos os direitos reservados
          Copyright desta edio: 
          Saraiva S.A. Livreiros 
          Editores, So Paulo, 2010. 
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          Fax vendas: (11) 3611-3268 
          ~,www.editorasaraiva.com.br~, 
<p>
                               I
Sumrio

Segunda Parte

<F->
Unidade 2 -- Potenciao
Captulo 3- Potncia ::::: 135  
O que  potncia? :::::::::: 137
Quadrados perfeitos :::::::: 154 
Captulo 4- Sistemas de 
  numerao ::::::::::::::::: 170 
Como os maias escreviam os
  nmeros ::::::::::::::::::: 170
O sistema de numerao 
  decimal ::::::::::::::::::: 171
O sistema de numerao 
  binrio ::::::::::::::::::: 178

Unidade 3 -- Geometria: 
  primeiros passos 
Captulo 5- Noes 
  fundamentais :::::::::::::: 194 
Um pouco de Histria :::::: 194
Formas reais e formas 
  geomtricas ::::::::::::::: 198 
Ponto, reta e plano: 
  as mais simples formas 
  geomtricas ::::::::::::::: 200
Captulo 6- Semirreta e 
  segmento de reta :::::::::: 218
Semirreta::::::::::::::::::: 218
Segmento de reta ::::::::::: 220 
Captulo 7- ngulos :::::: 232
O que  ngulo? :::::::::::: 232
ngulo reto :::::::::::::::: 235
ngulo formado por retas ::: 238
<F+>
<61>
<T mat. realidade 6>
<t+135> 
Unidade 2 -- Potenciao 

Captulos: 
 3- Potncia 
 4- Sistemas de numerao 

Captulo 3- Potncia 

Quantos bisavs? 

  Veja os retratos dos pais, avs e bisavs de Gabriela. 

<R+>
<F->
_`[{figura adaptada para a qual foi criada a seguinte legenda:
  b -- bisav
  b -- bisav
<p>
  v -- av
  v -- av_`]
<F+>
<R->

<F->
 !::::  !::::    !::::  !::::
 l b _  l b _    l b _  l b _
 r::::w  r::::w    r::::w  r::::w
 l b _  l b _    l b _  l b _
 h::!:j  h::!:j    h::!:j  h::!:j
    l       l         l       l
 !::h:  !::h:    !::h:  !::h:
 l v _  l v _    l v _  l v _
 h::!:j  h:::j    h::!:j  h:::j
    h:::!:::j         h:::!:::j
        l                 l   
     !::h::           !::h::
     l pai _           l me _
     h::!::j           h::::j
        h::::::::!::::::::j
                 l          
           !:::::h:::::
           l Gabriela _
           h:::::::::::j
<F+>

  Os bisavs de Gabriela esto todos vivos. Quantos eles so? 
  Observe: 
<R+>
 Gabriela tem 2 pais (pai e me); 
 cada um dos pais tem 2 pais (avs de Gabriela); 
 cada um dos avs tem 2 pais (bisavs de Gabriela). 
<R->
  Ao todo, os bisavs de Gabriela so 222. Portanto, so 8. 

O que  potncia? 

  O produto 222, de trs fatores iguais a 2,  exemplo de uma potncia. Indicamos: 
222=23 (L-se: "dois elevado  terceira".) 
  Uma potncia  um produto de fatores iguais. Potncia  o resultado da operao chamada potenciao. 
  Na potenciao: 

<R+>
 a base  o fator que se repete; 
 o expoente  o nmero de vezes que repetimos a base. 
<R->
<F->
23=8
2 :> base
<p>
3 :> expoente
8 :> potncia
<F+>
<63>

  Veja outros exemplos: 
10101010=104
  base -- 10
  expoente -- 4
  (L-se: "dez elevado  quarta".) 
  Temos: 
<R+>
<F->
104=10101010=10.000
10101010 :> 4 fatores iguais  base
10.000 :> 4 potncia de 10
<F+>
<R->
  
  E qual  a potncia de base 3 
e expoente 5? 
35=33333=243 

Exerccios

<R+>
<F->
1. Eram 4 irmos. Cada um tinha 4 carros, e cada carro, 4 rodas. Quantas rodas havia? 
<p>
2. Indique na forma de produto e calcule: 
a) 43 
b) 14 
c) 25 
d) 26

3. Indique na forma de potncia: 
a) 777
b) 88888
c) 1212
d) 6666666 

4. Qual  o valor da potncia? 
a) A base  2 e o expoente  6. 
b) A base  0 e o expoente  9. 
c) A base  10 e o expoente  5. 
d) A base  6 e o expoente  2. 
<p>
5. Na segunda-feira 10 pessoas ficaram sabendo de uma notcia. Na tera-feira cada pessoa contou a notcia para outras 10, e estas, na quarta-feira, contaram, cada qual, para outras 10. 
  Nenhuma dessas pessoas sabia da notcia antes. 
a) Quantas pessoas ficaram sabendo da notcia na quarta-feira? 
b) At quarta-feira, quantas pessoas j sabiam da notcia?

6. Qual  maior: 
a) 32 ou 23?
b) 42 ou 24? 
c) 52 ou 25? 
d) 03 ou 05? 

7. Num quadriculado, cada quadradinho  chamado clula. Quantas clulas h em cada 
<p>
  quadriculado a seguir? Indique por potncias de expoente 2. 
<F+>
<R->

<F->
a)
------------.
v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-l

b)
----------------.
v-v-v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-v-v-l
v-v-v-v-v-v-v-v-l
<64> 

<R+>
8. Com bolinhas de isopor ligadas por espetinhos de madeira construmos os quadrados representados nas figuras a seguir. Indique, na forma de potncia de expoente 2, a quantidade de bolinhas de cada quadrado. 
<R->

<F->
a)
o::o
 l  _
o::o

b)
o::o::o
 l  _   _
o::o::o
 l  _   _
o::o::o

c)
o::o::o::o
 l  _   _   _
o::o::o::o
 l  _   _   _
o::o::o::o
 l  _   _   _
o::o::o::o
<p>
d)
o::o::o::o::o
 l  _   _   _   _
o::o::o::o::o
 l  _   _   _   _
o::o::o::o::o
 l  _   _   _   _
o::o::o::o::o
 l  _   _   _   _
o::o::o::o::o
<F+>
 
  A segunda potncia de um nmero  chamada *quadrado* do nmero.
  Assim, 42 l-se "quatro ao quadrado" e o quadrado de 5  52 (cinco ao quadrado). 

<R+>
9. Calcule o quadrado de cada nmero: 5, 10, 6, 15, 12, 100.

10. Tambm construmos um cubo com bolinhas de isopor ligadas por espetinhos de madeira (imagine a forma de um dado). In-
<p>
  dique a potncia de expoente 3 que representa a quantidade de bolinhas.  
<R->

  A terceira potncia de um nmero  chamada *cubo* de um nmero.
  Assim, o cubo de 2  23 (dois ao cubo).

<R+>
11. Calcule o cubo de cada nmero: 2, 3, 5, 8, 10, 100. 

12. Relacione a ficha A com a ficha B: 
<R->
Ficha A:
  cubo de 6
  5 potncia de 3
  4 potncia de 3
  8 potncia de 2
  quadrado de 11
 Ficha B:
  256 -- 243 -- 121 --
  81 -- 216
<65>

<R+>
<F->
13. Escreva, sem calcular, como se representa: 
a) o dobro de 999 
b) o quadrado de 999  
c) o cubo de 999   
d) o triplo de 999 
e) o dobro do nmero n 
f) o quadrado do nmero n 
g) o cubo do nmero n 
h) o triplo do nmero n 

14. Calcule as potncias de base 10 e observe o nmero de zeros em cada resultado: 
a) 102 
b) 103 
c) 104 
d) 105 
e) 106 
f) 107 

15. Pelo que voc observou no exerccio anterior, pode-se concluir que 1012 resulta 1 seguido de quantos zeros? Como se l esse nmero?  
<p>
16. Digitei na minha calculadora: 55555555= 
  O resultado que apareceu no visor foi 390.625. 
a) Que potncia calculei?
b) Quanto  59? 
c) E 57? 

17. Utilize uma calculadora e calcule: 
a) 113, 114, 115 
b) 1012, 1.0012, 10.0012 
<F+>
<R->

Que nmero ? 

  Vamos agora fazer uma conta usando potncias! 
  Quanto d: 
 5.103+6.102+7.10+8? 
  Como 103=1.000 e 102=100, temos: 
 5.1.000+6'100+7.10+8 
 5.000+600+70+8 
 5.678 
  O resultado procurado  5.678. 
<p>
Vamos calcular expresses 
  aritmticas com potncias 

  As expresses aritmticas com potncias podem ser resolvidas da seguinte forma: 
<R+>
 calculamos separadamente cada potncia indicada; 
 substitumos o valor de cada potncia na expresso e, depois, efetuamos as operaes indicadas. 
<R->
<66> 
  No se esquea de que, em expresses com parnteses dentro de colchetes e estes dentro de chaves, devemos resolver primeiro os parnteses, em seguida os colchetes e, por ltimo, as chaves. 
  Observe os exemplos a seguir: 
  Calculemos 3.24+25. 
  Temos: 
 24=2222=16 
 25=162=32 
  Ento: 3.24+25=
 =3.16+32=48+32=80 

  Calculemos 62-32+
 +(2+1)3. 
  Temos: 
 62=66=36 
 32=33=9 
 (2+1)3=33=333=27 
  Ento: 62-32+(2+1)3=
 =36-9+27=27+27=54 

Exerccios

<R+>
18. Na brincadeira da cabra-cega, Ricardo, de olhos vendados, tenta pegar cada um dos seus amigos. Vamos ajud-lo resolvendo as expresses a seguir. Cada expresso resolvida corresponde a uma criana pega na brincadeira. As crianas devem ser pegas na ordem das expresses, de a) at f). Associe o resultado de cada expresso matemtica (indicado na camiseta) com os nomes das crianas. Quem vai ser pego primeiro? Qual das crianas no ser pega?  

_`[{a seguir, lista contendo os nomes dos amigos de Ricardo e os nmeros escritos em suas camisetas_`]
<R->
<F->
Andr -- 10
Luciana -- 36
Maurcio -- 89
Talita -- 88
Alexandre -- 145
Gabriela -- 57
Priscila -- 37

a) 5.23+72  
b) 52.3-622 
c) 32.24+1
d) 24-3.5+32
e) 2.42+8224
f) 17-3.22+25 
<F+>
<67>

<R+>
19. Quem  o dono de cada pipa? Que nmero est na pipa cujo dono no conhecemos? Descubra, resolvendo as expresses. 
<R->
<p>
_`[{cinco pipas_`]

<F->
!:::::  !:::::  !::::::
l 48 _  l 52 _  l 432 _
h:::::j  h:::::j  h::::::j

!:::::  !::::: 
l 25 _  l 81 _  
h:::::j  h:::::j 
<F+>

<R+>
<F->
_`[{crianas soltando as pipas_`]
Alexandre: 5.4+25
Gabriela: 25-24+32
Luciana: 23.10-22.23
Ricardo: 33.42

20. Calcule as expresses: 
a) (5+1)2-5.6
b) 17-(2.2)2+(4-1)3 
c) (82)3+(8-2)2 

21. Numa videolocadora, as crianas escolhem DVD~s para alugar. Vamos descobrir quem alugou cada filme, calculando as expresses a seguir e associando 
<p>
  os resultados aos nmeros impressos nas camisetas da turma. 
a) O planeta perdido: (3+2)2.4-100 
b) Sonhos encantados: 7+(5.2)2-(32-8)5 
c) A fadinha boa: (5+2.3)2-(17-24) 
d) Lup, o heri: (3+22)2+4.52 
e) Aventuras de um marciano: (2442)10+
  +(32-23)9 
f) A bruxa malvada: (17-2.23)3.
  .(25-33)2 

_`[{a seguir, o nome de cada criana seguido do nmero impresso em sua camiseta_`]
Maurcio -- 149
Ricardo -- 2
Alexandre -- 120
Gabriela -- 0
<p>
Luciana -- 573
Priscila -- 25 

  Qual desses DVD~s no foi alugado
  Quem no alugou DVD algum? 
<F+>
<R->

<F->
22. Qual  o expoente? 
a) 4'''=64
b) 3'''=81
c) 10'''=1.000
d) 2'''=32
<F+>
<68>

Quadrado de quanto? 

  O nmero 49  o quadrado de quanto? 
  Observe esta tabela de quadrados: 
<p>
 !:::::::::::::::::::::::
 l Nmero _ Quadrado do _
 l         _ nmero       _
 r:::::::::w::::::::::::::w
 l 0      _ 0           _
 r:::::::::w::::::::::::::w
 l 1      _ 1           _
 r:::::::::w::::::::::::::w
 l 2      _ 4           _
 h:::::::::j::::::::::::::w
 l 3      _ 9           _
 h:::::::::j::::::::::::::w
 l 4      _ 16          _
 h:::::::::j::::::::::::::w
 l 5      _ 25          _
 h:::::::::j::::::::::::::w
 l 6      _ 36          _
 h:::::::::j::::::::::::::w
 l 7      _ 49          _
 h:::::::::j::::::::::::::w
 l 8      _ 64          _
 h:::::::::j::::::::::::::w
 l 9      _ 81          _
 h:::::::::j::::::::::::::w
 l 10     _100          _
 h:::::::::j::::::::::::::j
<p>
  O nmero 49  o quadrado de 7. Temos: 
 72=77=49 

Quadrados perfeitos 

  Elevando ao quadrado os nmeros naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... 
obtemos os nmeros chamados quadrados perfeitos: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ... 
  Podemos aumentar essa sequncia calculando 112, 122, 132, 142, etc. 
<P>
Raiz quadrada 

  O nmero natural que elevado ao quadrado resulta um nmero quadrado perfeito  chamado raiz quadrada aritmtica desse nmero.

  O nmero 49  um quadrado perfeito porque 49=72. 
  O nmero 7  chamado raiz quadrada aritmtica de 49. Indicamos: 
<R+>
49=7 (L-se: "a raiz quadrada de 49  7".) 
<R->
  Ento, podemos formar a tabela: 
<P>
 !:::::::::::::::::::::::
 l Quadrado _ Raiz      _
 l perfeito  _ quadrada   _
 r:::::::::::w::::::::::::w
 l 0        _ 0         _
 r:::::::::::w::::::::::::w
 l 1        _ 1         _ 
 r:::::::::::w::::::::::::w
 l 4        _ 2         _ 
 r:::::::::::w::::::::::::w
 l 9        _ 3         _ 
 r:::::::::::w::::::::::::w
 l 16       _ 4         _  
 r:::::::::::w::::::::::::w
 l 25       _ 5         _ 
 r:::::::::::w::::::::::::w
 l 36       _ 6         _ 
 r:::::::::::w::::::::::::w
 l 49       _ 7         _ 
 r:::::::::::w::::::::::::w
 l 64       _ 8         _ 
 r:::::::::::w::::::::::::w
 l 81       _ 9         _ 
 r:::::::::::w::::::::::::w
 l 100      _ 10        _ 
 h:::::::::::j::::::::::::j
<p>
  Por exemplo: 
 0=0, 1=1, 4=2, 9=3 

Exerccios

<F->
23. Indique o valor de: 
a) 16 
b) 36 
c) 81 
<F+>
<69> 

<R+>
24. Copie esta tabela em seu caderno e complete-a: 

_`[{tabela em trs colunas: 
  1) nmero n; 
  2) *n*  quadrado perfeito; 
  3) Em caso afirmativo, quanto  n?_`]
<R->
<p>
<F->
 !::::::::::::::::
 l 1  _ 2 _ 3 _
 r::::::w:::::w:::::w
 l 25  _ sim _ 5  _
 r::::::w:::::w:::::w
 l 64  _ ''' _ ''' _
 r::::::w:::::w:::::w
 l 80  _ no _     _
 r::::::w:::::w:::::w
 l 100 _ ''' _ ''' _
 r::::::w:::::w:::::w
 l '''  _ sim _ 11 _
 r::::::w:::::w:::::w
 l '''  _ sim _ 12 _
 r::::::w:::::w:::::w
 l 225 _ ''' _ ''' _
 r::::::w:::::w:::::w
 l 75  _ ''' _ ''' _
 r::::::w:::::w:::::w
 l '''  _  sim_ 20 _
 r::::::w:::::w:::::w
 l '''  _sim  _ 25 _
 h::::::j:::::j:::::j
<p>
25. Calcule o valor de: 
a) 2.25+4 
b) 3.4-9 

<R+>
26. Digitei na minha calculadora: 
<R->
  196  = 
  Apareceu no visor o valor de 
  196. Qual foi o resultado?  
<F+>

<R+>
27. Use uma calculadora com a tecla  e calcule: 
<R->
 a) 2.025 
 b) 12.544+9.604

As propriedades da potenciao 
<R->

  Nos exerccios seguintes vamos aprender as propriedades da potenciao. 
  Vamos simplificar 104103. Observe: 
 104103=(10.10.10.10)
  (10.10.10)=10.10.10.10.
  .10.10.10 
  Ento: 
 104103=10?4+3*=107 
<p>
  Simplificar uma expresso  transform-la numa expresso com menos operaes e cujo resultado seja o mesmo. 

  Agora  sua vez. 
<70>

Exerccios

28. Simplifique: 
<F->
a) 36.32 
b) 25.27 
c) 23.23.24 
d) 104.103.106.107
<F+>

<R+>
29. Faa o que se pede em cada item. 
 a) Responda: certo ou errado? 
<R->
  24.22=48 
  22.23=26 
  210.22.26=218 
 b) Copie no seu caderno e 
  complete: 
<R+>
  Para simplificar produtos de potncias de mesma base, conservamos a base e ''' os expoentes. 
<R->
<p>
  Vamos simplificar 2825. Observe: 
 2825=
 ?2.2.2.2.2.2.2.2*?2.2.
  .2.2.2*=2.2.2
  Ento: 2825=2?8-5*=23 
  
  Agora  sua vez. 

<F->
30. Simplifique: 
a) 3732 
b) 106104 
c) 7573 
d) 124122 

31. Faa o que  pedido. 
a) Copie no seu caderno e 
  complete: 
<F+>
<R+>
  Para simplificar quociente de potncias de mesma base, no nula, conservamos a base e ''' os expoentes. 
<R->
b) Simplifique: 
  107102
  21227 
  219211 
<p>  
  A expresso (92)3 indica uma potncia de expoente 3 cuja base  a potncia 92. Dizemos que se trata de uma potncia de potncia. Vamos simplific-la: 
 (92)3=92.92.92=
  =9?2+2+2*=9?3.2*
  Ento: (92)3=9?2.3*=96 
  
  Agora  sua vez. 

<F->
32. Simplifique: 
a) (35)2 
b) (23)4 
c) (56)3 
d) (25)4 
<F+>
<71> 

33. Faa o que se pede em cada 
  item. 
<R+>
 a) Indique e simplifique: 
  A 5 potncia da 3 potncia de 8. 
  O quadrado do cubo de 10. 
  A 10 potncia da 4 potncia de 25.
  O cubo do cubo de 7. 
<R->
<p>
<R+>
 b) No seu caderno, copie e complete: 
  Para simplificar potncia de potncia, conservamos a base e ''' os expoentes. 
<R->

Casos especiais de potncia 

  Vamos conhecer potncia de expoente 1. As propriedades j estudadas continuam verdadeiras. Observe: 
  Quando as expresses so iguais 2524=3216=2 e 
 2524=2?5-4*=21 os resultados devem ser iguais; ento 21=2.
  Tambm queremos que 31.32=3?1+2*=33
 31 :> '''
 32 :> 9
 33 :> 27
  Para isso, 31=3
  Ento, definimos: 
<R+>
Potncia de expoente 1  igual  base. 
<R->
<p>
  Dessa forma, temos: 
 21=2  
 31=3  
 201=20 
 1.2371=1.237 
  Vamos conhecer agora potncia de expoente 0. 
  Observe novamente com ateno: 
  Quando as expresses so 
 iguais: 
 6262=3636=1 e 
 6262=6?2-2*=60 os resultados devem ser iguais; 
 ento, 60=1.
  Tambm queremos que 30.32=3?0+2*=32.
 30 :> ''' 
 32 :> 9
  Para isso, 30=1.
  Ento, definimos para base no nula: 
<R+>
 Potncia de expoente 0  igual a 1. 
<R->
<p>  
  Assim, por exemplo: 
<F->
60=1 
30=1 
200=1 
1000=1 
1.2370=1 
<F+>
<72> 

Exerccios

<R+>
34. D o valor de cada potncia: 
<R->
<F->
a) 71 
b) 181 
c) 90 
d) 2720 

<R+>
35. Classifique cada item como certo ou errado. 
a) 1=100 
b) 170=340 

36. Indique em cada item qual potncia  maior. 
a) 1201 ou 1120 
b) 3120 ou 0312 
<p>
37. Calcule o valor de cada potncia: 
a) 44?2-2* 
b) 308?22* 

38. Qual  o expoente? 
a) 5.5.5=5''' 
b) 5.5=5''' 
c) 5=5''' 
d) 1=5''' 

39. Calcule o valor em cada caso: 
a) 802 
b) 4100 
c) 331
d) 1014  

40. Simplifique, aplicando as propriedades da potenciao (no precisa calcular): 
a) 93.94.9 
b) 32.33.43.44
c) 520513 
d) 51752
e) (32)3.(33)4.35 
f) 108(102)3

41. Qual  o valor de 10+11+20+21+22? 

42. J calculei 94. Deu 6.561. 
a) Quanto  95?
b) E 96? 

43. Luciana e Gabriela participaram de uma gincana em que foi sorteada uma expresso para cada garota calcular. O resultado correspondia  caixa que deveria ser aberta para ver a prxima tarefa. Que caixa no foi aberta? 
Luciana: 2.43-32.3.
  .30-50102 
Gabriela: 4.(43-32)
  (32+31-30)-23 
<F+>
<R->

_`[{trs caixas:
  1- tarefa 1;
  2- tarefa 2;
  3- tarefa 3_`]
<73>
<p>
<R+>
<F->
44. No passeio ao zoolgico, as crianas se divertiram muito. Descubra o bicho de que cada uma mais gostou. Para isso, calcule as expresses e associe os resultados aos nmeros impressos nas camisetas das crianas. 
girafa: 2.51-3.50
rinoceronte: 32-3.21+
  +30.64
ona: 2.72-9-100
elefante: 20+21+22+23
gorila: 2.30+3.16+4.52
leo: 1630+52-2.
  .51

_`[{a seguir, o nome de cada criana seguido do nmero impresso em sua camiseta_`]
Luciana -- 11
Alexandre -- 114
Gabriela -- 7
Nicolau -- 1
<p>
Maurcio -- 4
Priscila -- 15
Fabinho -- 94

  De quem no sabemos a preferncia?
<R->
<F+>

Desafio 

A lio de Laura 

  Laura recebeu o seguinte desafio: 
  Encontre a maior soma possvel adicionando um nmero de quatro algarismos a um nmero de trs algarismos, sendo os sete algarismos diferentes entre si. 
  Ela resolveu o desafio brilhantemente e acertou a resposta. Qual foi a resposta de Laura? 

               ::::::::::::::::::::::::
              
<74>
<p>
Captulo 4- Sistemas de 
  numerao

Como os maias escreviam os 
  nmeros 

  Os maias -- indgenas que viveram na Amrica Central -- formaram uma civilizao bastante avanada para a sua poca. Seus conhecimentos de astronomia eram impressionantes. 
  Os maias usavam um sistema de numerao de *base vigesimal* -- contavam as unidades em grupos de vinte. Veja como eles escreviam os nmeros de 0 a 19: 

<R+>
_`[{representao dos nmeros: o zero era representado por um desenho em forma de elipce; de 1 a 4 utilizavam pontinhos; de 5 a 19, pontinhos e tracinhos horizontais_`]
<R->
<p>
  Cinco pontinhos eram trocados por um tracinho horizontal. Assim, para contar at 19, eles agrupavam as unidades em grupos de cinco -- como num sistema de numerao de base 5. Para contar a partir de 20, eles usavam outro smbolo e tinham uma maneira complicada de representar grandes quantidades. Repare tambm que, no sistema de numerao maia, existia um smbolo para o nmero zero, o que no havia no sistema romano. 

O sistema de numerao 
  decimal 

  Os hindus -- inventores dos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 -- contavam agrupando os elementos em grupos de dez. Por esse motivo, o sistema de numerao que utilizavam  chamado *sistema decimal*, o mesmo que usamos at hoje. 
<p>
  Sistema de numerao decimal  o sistema de base 10. 

  No sistema de numerao decimal, temos: 
 dezena: grupo de dez unidades; 
 centena: grupo de dez dezenas; 
 milhar: grupo de dez centenas. 
<75>

  Ento: 
<R+>
1 dezena = 10 unidades = 101 unidades 
 1 centena = 100 unidades = 
  = 102 unidades 
 1 milhar = 1.000 unidades = 
  = 103 unidades 
<R->

  Cada nmero  representado indicando-se, da direita para a esquerda, a quantidade de unidades (at 9), de dezenas (at 9), de centenas (at 9), de milhares (at 9), de dezenas de milhares (at 9), e assim por diante. Por exemplo, o nmero 37.524 tem: 
<p>
<R+>
3 dezenas de milhares, 7 milhares, 5 centenas, 2 dezenas e 4 unidades
<F->

3 dezenas de milhares: 3104=30.000
7 milhares: 7103=7.000
5 centenas: 5102=500
2 dezenas: 2101=20
4 unidades: 41=4
<F+>
<R->
37.524=30.000+7.000+500+20+4

  Veja outros exemplos:
 38=3 dezenas e 8 unidades
 38=3.10+8
 
 99=9 dezenas e 9 unidades
 99=9.10+9
 
 428=4 centenas, 2 dezenas e 
  8 unidades
 428=4.102+2.10+8
 
 701=7 centenas, 0 dezenas e 
  1 unidade
 701=7.102+0.10+1
<p>
110=1 centena, 1 dezena e 
  0 unidade
 110=1.102+1.10+0

2.473=2 milhares, 4 centenas, 
  7 dezenas e 3 unidades
 2.473=2.103+4.102+7.
  .10+3

Exerccios 

<F->
45. Que nmero ? 
a) 6.103+7.102+8.101+
  +9.100 
b) 2.103+8.100
c) 2.104+5.103+1.100 
d) 6.104+5.102+4.101

<R+>
46. Decomponha em soma de potncias de base 10: 
<R->
a) 1.958 
b) 2.015 
<F+>
<76>
<p>
Vamos usar o clculo 
  mental 

  A decomposio de nmeros em centenas, dezenas e unidades pode nos ajudar a fazer contas "de cabea", ou seja, mentalmente. 
  Veja estes exemplos: 
  Para calcular 67+84 podemos pensar assim: 
 67  60+7 e 84  
  80+4 
 60+80  140 e 7+4  11 
 140+11  151 
  Ento: 67+84=151 
  Para calcular 1253 podemos pensar: 
53  50+3 
 1250  600 e 
  123  36 
 600+36  636 
  Ento: 1253=636. Confira o resultado efetuando a multiplicao. 
<p>
A propriedade distributiva 

  No raciocnio de clculo do exemplo anterior, usamos o seguinte procedimento: 
 12(50+3)=1250+123 
  Distribumos a multiplicao pelas parcelas e depois somamos os resultados. Aplicamos assim a chamada *propriedade distributiva* da multiplicao em relao  adio: 

  O produto de um nmero por uma soma  igual  soma dos produtos daquele nmero pelas parcelas da soma. 

Exerccios 

<R+>
<F->
47. Calcule "de cabea": 
a) 75+44 
b) 92+53
c) 68+94
d) 116+36
<p>
48. Calcule mentalmente: 
a) 742 
b) 586 
c) 1233 
d) 2075 
<77>

49. Calcule a expresso 15(20+40) de dois modos: 
a) fazendo a adio e, depois, a multiplicao; 
b) distribuindo a multiplicao e fazendo, por ltimo, a adio. 
  Qual modo voc acha mais fcil? 

50. Calcule a soma: 
 a 1 parcela  o maior nmero que se escreve com trs algarismos; 
 a 2 parcela  o maior nmero que se escreve com trs algarismos diferentes entre si. 

51. Um nmero escrito no sistema decimal tem quatro algarismos, sendo dois deles 1, e os outros dois, 0. 
<p>
  Que nmero  esse? (D todas as possibilidades.) 
52. Para paginar um livro, da pgina 1  pgina 240, quantos algarismos so escritos? Lembre-se de contar as repeties e de que se trata de paginao feita no sistema decimal. 
53. Quais so os nmeros que se escrevem com trs algarismos no sistema decimal, usando apenas os algarismos 1 e 2? 
<F+>
<R->

O sistema de numerao binrio 

  Fazendo a decomposio: 
 372=300+70+2=3102+710+
 +2 mostramos que o nmero 372  uma soma de potncias de 10: so 3 potncias 102, mais 7 potncias 101, mais 2 potncias 100. 
 3102+7101+2100 

  Nmero escrito em sistema decimal: os algarismos multiplicam potncias de 10. 

  Podemos decompor nmeros em soma de potncias de qualquer base. Por exemplo, vamos usar a base 2. 
  Lembre-se:
<F->
20=1 
21=2 
22=4 
23=8 
24=16 
25=32, etc. 
  Veja estes dois exemplos: 
7=4+2+1
7=22+21+20
7=122+121+120 

11=8+2+1 
11=23+21+20 
11=123+022+121+1
  20 
<F+>
<78>

  Nessa decomposio, cada potncia de 2 aparece uma vez ou nenhuma. 
  Ento, em base 2: 
<F->
7=1 1 1
122+121+120
<p>
11=1 0 1 1
123+022+121+1
  20
022 no aparece na decomposi-
  o de 11
<F+>
  
  Nmero escrito em sistema binrio (base 2): os algarismos multiplicam potncias de 2. 

Exerccios 

<F->
54. Escreva no sistema binrio:
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 13 
f) 25 
<F+>

Voc sabia? 

  Linguagens de computadores utilizam nmeros escritos no sistema binrio. Nesse sistema, so usados apenas os algarismos 0 e 1. 
<p>
<R+>
55. Que nmero ? Ele est escrito no sistema binrio. 
<R->
 a) 1 #j #a #j
 b) 1 #a #j #a #j 

Desafios 

Numere as rvores 

  Leia as informaes a seguir e, a partir delas, tire algumas concluses. 

<R+>
Uma floresta tem 1.000.000 de rvores. 
 Nenhuma rvore tem mais que 300.000 folhas. 
<R->
<79>

  Responda s perguntas. 
<R+>
<F->
a) No mximo, quantas folhas pode ter uma rvore? 
b) No mximo, quantas folhas existem na floresta? 
c) Pode-se tirar a concluso: "Na floresta existe rvore com uma s folha"? 
<p>
d) Pode-se tirar a concluso: "Na floresta no existe rvore com uma s folha"? 
e) Pode-se tirar a concluso: "Na floresta existem rvores com o mesmo nmero de folhas"? 
<F+>
<R->

Na base 3 
  Decomponha o nmero 50 em soma de potncias de 3. Cada potncia pode ser usada at duas vezes. 

Equilibrando 
  No Armazm Geral h uma antiga balana de dois pratos. O proprietrio, seu Expedito, tem meia dzia de pesos, assim numerados: 
<R+>
<F->
 dois pesos com o nmero 1, cada um com 100 g de massa;  
 dois pesos com o nmero 3, cada um com massa 300 g; 
 dois com o nmero 9, cada um com massa 900 g. 
a)  possvel pesar 2 quilos de arroz? Com quais pesos? 
<p>
b) Para pesar usando apenas esses pesos, que quantidades de arroz cada cliente pode pedir? 
<F+>
<R->

Matemtica em notcia 

  Leia o texto a seguir: 

<R+>
Qual  a lgica das letras nas placas dos carros? 
<R->

  A ordem das letras e nmeros tem a ver com o lugar em que o veculo  emplacado. [...] Cada estado tem suas combinaes prprias (veja tabela a seguir). [...] 
   possvel encontrar placas com cidades e combinaes "trocadas". Isso acontece porque, se um veculo  emplacado originariamente em um lugar e o endereo do proprietrio muda, troca-se apenas a indicao de cidade e estado. Ou seja, um carro licenciado em Camaari, Bahia, com a combinao JOL pode perfeitamente estar rodando com a indicao "So 
Paulo, SP". Isso porque o primeiro emplacamento ocorreu na Bahia. [...] 

<R+>
(*Superinteressante*, maio de 2004.) 
<R->
<81>

O abc das placas 

<R+>
Letras indicam o estado em que o carro foi emplacado 

<F->
_`[{tabela em trs colunas: Estado -- srie inicial -- Srie final. Contedo a seguir_`]
Paran -- AAA-0001 --
  BEZ-9999
So Paulo -- BFA-0001 --
  GKI-9999
Minas Gerais -- GKJ-0001 --
  HOK-9999
Maranho -- HOL-0001 --
  HQE-9999
Mato Grosso do Sul --
  HQF-0001 -- HTW-9999
Cear -- HTX-0001 --
  HZA-9999
<p>
Sergipe -- HZB-0001 --
  IAP-9999
Rio Grande do Sul --
  IAQ-0001 -- JDO-9999
Distrito Federal -- 
  JDP-0001 -- JKR-9999
Bahia -- JKS-0001 --
  JSZ-9999
Par -- JTA-0001 --
  JWE-9999
Amazonas -- JWF-0001 --
  JXY-9999
Mato Grosso -- JXZ-0001 --
  KAU-9999
Gois -- KAV-0001 --
  KFC-9999
Pernambuco -- KFD-0001 --
  KME-9999
Rio de Janeiro -- KMF-0001 --
  LVE-9999
Piau -- LVF-0001 --
  LWQ-9999
Santa Catarina -- LWR-0001 --
  MMM-9999
Paraba -- MMN-0001 --
  MOW-9999
<p>
Esprito Santo -- MOX-0001 --
  MTZ-9999
Alagoas -- MUA-0001 --
  MVK-9999
Tocantins -- MVL-0001 --
  MXG-9999
Rio Grande do Norte --
  MXH-0001 -- MZM-9999
Acre -- MZN-0001 --
  NAG-9999
Roraima -- NAH-0001 --
  NBA-9999
Rondnia -- NBB-0001 --
  NEH-9999
Amap -- NEI-0001 --
  NFB-9999
Novas combinaes liberadas 
  para Gois -- NFC-0001 --
  NGZ-9999
_`[{fim da tabela_`]
<F+>
<R->

  Nas placas so usadas as 26 letras do alfabeto. No existe placa com quatro zeros. 
  Consulte a tabela e responda: 
<R+>
<F->
a) De que estado  a placa MEU-1234? 
<p>
b) Quantos carros podem ter placas com a mesma sequncia de trs letras?  
c) Quantos carros podem ser licenciados da srie inicial AAA-0001 at ABC-9999? 
d) Quantos carros podem ser emplacados com as combinaes reservadas para o estado do Piau? 

Teste seu conhecimento 

1. 106  quantas vezes 103? 
a) duas  
b) dez 
c) cem
d) mil 

2. O dobro e a metade do nmero 222 valem, respectivamente: 
a) 28 e 24 
b) 244 e 211 
c) 422 e 122 
d) 223 e 221 
<F+>
<R->
<p>
3. A diferena 
  264-(22)3  igual a: 
<R+>
<F->
a) 192 
b) 32 
c) 4 
d) 0 

4. Simplificando-se a expresso 2323, obtm-se: 
a) 66 
b) 68 
c) 28 
d) 218
<81>

5. A que expoente devemos elevar a base 10 para obter um milho? 
a) 6 
b) 7 
c) 8 
d) 9 

6. Considere todos os nmeros de trs algarismos que podem ser formados com os algarismos 5, 4 e 1, sem que estes se repitam. O menor dos nmeros forma-
<p>
  dos que tem o algarismo 5 na ordem das dezenas representa:
a) cem unidades. 
b) cento e quarenta e cinco unidades. 
c) cento e cinquenta e quatro unidades. 
d) quatrocentas e quinze unidades. 
<F+>

7. (UF-PE, adaptado) A seguir temos uma operao correta de adio, na qual as parcelas e a soma esto expressas no sistema de numerao decimal. Os dgitos y foram apagados. Descubra-os e responda quanto  a soma deles: 
<R->
  8y3+y87+57y=2.296
<F->
a) 17 
b) 18
c) 19
d) 20 
<p>
<R+>
8. (Puccamp-SP) A soma dos algarismos que compem a idade de Pedro  8. Invertendo-se a posio de tais algarismos, obtm-se a idade de seu filho Joo, que  36 anos mais novo que ele. A soma das idades de Pedro e Joo, em anos, :
a) 82 
b) 88 
c) 94 
d) 96 

9. (Fatec-SP) Um nmero natural de dois algarismos  tal que, se invertermos a ordem desses algarismos, obteremos um nmero 18 unidades maior. Se a soma dos algarismos  10, ento o algarismo das dezenas daquele nmero :
a) 3 
b) 5 
c) 6
d) 8 
<p>
10. (Unimar-SP) Um sistema de numerao consiste dos smbolos w (mega), d (delta) e f (fi) com as seguintes regras: 
 No pode ter 3 ou mais smbolos repetidos. 
 Cada d vale w w w e cada f vale d w w. 
  Se tivssemos a quantidade de 23 unidades de contagem (w), a escrita desse sistema seria: 
a) f f d w w  
b) f f d d w  
c) f d d w w w 
d) f f d d w w 
<F+>
<R->

Desafios 

No  preciso calcular 

  Voc sabe que 4 e 8 so potncias de 2. O nmero 48.84 tambm . Temos 48.84 igual a: 
<R+>
<F->
a) 216 
b) 224 
c) 225 
d) 228 
e) 232 
<F+>
<R->
<82>

Acerte as contas 

a) Trocando um algarismo 
<R+>
  Para que esta conta fique correta,  preciso trocar um mesmo algarismo, em todos os lugares onde ele aparecer, por outro algarismo, que no apareceu nenhuma vez. Acerte a conta. 
  87.684+72.947=124.231 

_`[{para as atividades b) e c), pea otientao ao professor_`]

 b) Deslocando dois palitos 
  Para que esta conta fique correta,  preciso mudar dois palitos de lugar. Acerte-a. 
  82-28=100
<p>
 c) Deslocando trs palitos 
  Esta conta ficar correta se forem mudados trs palitos de lugar. Acerte-a. 
  82-28=100
<R->

               oooooooooooo
<p>       
Unidade 3 -- Geometria: 
  primeiros passos 

Captulos: 
 5- Noes fundamentais 
 6- Semirreta e segmento de reta 
 7- ngulos 

<84>
<R+>
Captulo 5- Noes fundamentais
<R->

Um pouco de Histria 

  Muito antes de criar as linguagens escritas -- tradicional marco do incio da civilizao --, o homem j tinha atentado para as formas dos seres e objetos existentes no mundo. 
  Para sobreviver, o ser humano desenvolveu, j nos tempos pr-histricos, centenas de objetos com as mais variadas formas. 
Eram utenslios domsticos, armas de caa, armas de defesa, calados, roupas, etc. 

<R+>
_`[{foto de cermicas: um prato e quatro vasos de diferentes tamanhos_`]
 Legenda: Utenslios egpcios de cozinha de cerca de 4500 a.C. 
<R->

  Nossos antepassados passaram tambm a retratar, em pinturas e esculturas, as formas de animais, paisagens e objetos com os quais estavam em contato. 

<R+>
_`[{duas fotos com as legendas a seguir_`]
 Legenda 1: Pinturas rupestres do Parque Nacional da Serra da Capivara, Piau. Existem pinturas nessa regio datadas de 12000 anos atrs. 
 Legenda 2: Vaso chins de bronze datado de 200 a.C.
<R->
<p>
  O desenvolvimento de importantes sociedades humanas na Antiguidade, por volta de 4000 a.C., criou condies para a construo de grandes obras, cuja execuo exigiu um profundo estudo de formas e figuras. 
<85>
  Das civilizaes antigas, chineses, egpcios, assrios, babilnios e especialmente os gregos deram grandes contribuies ao estudo das formas. 
  Na Grcia, entre os sculos V e III a.C., vrios pensadores se dedicaram ao estudo das formas e do espao. Hoje seus nomes aparecem ligados s suas descobertas nesta rea do conhecimento chamada Geometria. 

  A Geometria tem por objetivo estudar as formas (de objetos ou figuras) e estabelecer relaes entre as medidas de suas partes e entre figuras diferentes. 
<p>
  A palavra *geometria* resulta de duas palavras gregas: *geo*, que significa terra, e *metria*, que significa medida. 

  O pensador grego que mais se destacou em Geometria foi 
 Euclides (sculo III a.C.). Ele reuniu as descobertas j feitas, complementou-as e as organizou de forma sistemtica em uma obra chamada *Os elementos*, escrita em 12 volumes. 
  Essa obra serviu de guia e de base para as pesquisas em Geometria por mais de dois milnios. 
  A importncia do trabalho de Euclides para a Geometria foi tanta que os conhecimentos reunidos em *Os elementos* -- somados aos que derivaram -- passaram a ser conhecidos como *Geometria euclidiana*. 
  No mundo de hoje, as inmeras obras de engenharia, arquitetura, artes plsticas, etc. mostram a imensa quantidade de formas que o homem desenvolveu partindo dos conhecimentos de Geometria. 

<R+>
_`[{trs fotos com as legendas a seguir_`]
 Legenda 1: Pgina de *Os elementos*, de Euclides. 
 Legenda 2: Verso miniatura do *Taj Mahal*, na ndia. 
 Legenda 3: Baslica de Nossa Senhora Aparecida, em 
  Aparecida (SP).  
<R->
<86>

Formas reais e formas 
  geomtricas 

  Observe a seguir fotos de objetos que constituem formas reais, com as quais temos contato. Ao lado de cada foto est ilustrada a mesma forma, como idealizada pela Geometria, e os respectivos nomes. 

 micro-ondas -- paraleleppedo 
 bolas -- esfera
 notebook -- retngulo
 garrafas -- cilindro
<p>
  Como se v, as formas geomtricas so formas idealizadas. Por exemplo, as bolas que aparecem na foto anterior apresentam a forma geomtrica de esfera, independentemente da aparncia que tm. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<87>

Exerccios

<R+>
_`[{para os exerccios de 1 a 4, pea orientao ao professor_`]

<F->
1. Copie o desenho _`[no adaptado_`] numa folha de cartolina. Recorte, dobre e cole, conforme indicado. Que forma geomtrica voc est montando? 
<88>
2. Copie o desenho _`[no adaptado_`] numa folha de cartolina. Recorte, dobre e cole, conforme indicado. Que forma geomtrica voc est montando? 
<89>
<p>
3. Copie o desenho _`[no adaptado_`] numa folha de cartolina. Recorte, dobre e cole, conforme indicado. Que forma geomtrica voc est montando?  
<90> 
4. Copie o desenho _`[no adaptado_`] numa folha de cartolina. Recorte, dobre e cole, conforme indicado. Que forma geomtrica voc est montando? 
<F+>
<R->
<91>

Ponto, reta e plano: as mais 
  simples formas geomtricas 

  Vamos idealizar um paraleleppedo observando as caractersticas de um ba retangular. 
  Cada um de seus 8 cantos (vrtices) d a ideia de *ponto*. 
  Cada uma de suas 12 dobras (arestas) d a ideia de pedao de reta. Se pudssemos prolongar cada aresta indefinidamente, teramos uma *reta*. 
<p>
  Cada uma de suas 6 faces d a ideia de pedao de plano. Se pudssemos ampliar cada face indefinidamente, em todas as direes, teramos um *plano*. 

Representao de ponto, reta e 
  plano 

  A figura a seguir  um *geoplano*, formado por uma placa de madeira quadriculada, com pregos nos vrtices de cada quadradinho. 

<F->
o:o:o:o:o:o
_  _  _  _  _  _
o:o:o:o:o:o
_  _  _  _  _  _
o:o:o:o:o:o
_  _  _  _  _  _
o:o:o:o:o:o
_  _  _  _  _  _
o:o:o:o:o:o
_  _  _  _  _  _
o:o:o:o:o:o
<F+>
<p>
  As cabeas dos pregos do a ideia de pontos. Pode-se dizer que o ponto no tem tamanho pois no  possvel medi-lo; na pgina anterior, temos apenas uma representao. 
<92> 
  Os pontos so indicados por letras maisculas. Veja, na figura a seguir, as representaes de alguns pontos. 

<F->
A
o       D
         o
    C
    o
       P
B     o
o
<F+>

  Um barbante -- ou fio de linha -- esticado d a ideia de um pedao de reta. Prolongado para um lado e para outro, o barbante d a ideia de uma reta. 
<p>
  As retas so indicadas por letras minsculas. 

<F->
       i
     i c
    i 
    m
   i 
  i   
        a
        

         b   
 <::::::::::::::::>
<F+>

  Toda *reta*  um conjunto cujos elementos so pontos. 
<93>
<p>  
  Considere a reta *r* e os pontos A, B, M, P, R e S. 
  
<F->
          r 
   M      
   o     
      P o
R      
o  B o 
      
          S
 A o     o
   
  
<F+>

  Os pontos A, B e P pertencem  reta *r*. A reta *r* passa pelos pontos A, B e P. 
  Os pontos M, R e S no pertencem  reta *r*. Ela no passa pelos pontos M, R e S. 
  O geoplano  a imagem de um plano. Os planos podem ser indicados por letras minsculas do *alfabeto grego*: ^a (alfa), ^b (beta), ^g (gama), ^d (delta). 
<94>

  Considere o plano _`[no representado_`] ^a e os pontos A, P, Q e X. 
  Os pontos A, P, Q e X pertencem ao plano ^a. 

<R+>
O que mais d a ideia de ponto 
 A marca feita pela ponta de um lpis 
 As estrelas no cu 
 O furo feito por uma agulha 
<R->
<95>

<R+>
O que mais d a ideia de reta 
 Os fios de um varal 
 O encontro de duas paredes 
<R->

O que mais d a ideia de plano 
 A lousa 

  Veja mais um exemplo de que as mais simples formas geomtricas esto no nosso dia a dia:

  Em uma quadra de esportes: 
<R+>
 o piso permite formar a ideia de plano; 
<p>
 a linha que divide os dois lados ajuda a dar a ideia de reta; 
 o centro d a ideia de ponto. 
<96>

Exerccios

_`[{para os exerccios 5 e 6, 
  pea orientao ao professor_`]

5. Observe o bloco retangular. _`[no representado_`] 
<R->
  Agora responda: 
<R+>
 a) Que pontos so vrtices? 
 b) Quantas retas formam as arestas? 
 c) Quantos planos formam as faces? 

6. Observe a pirmide. _`[no representada_`] 
<R->
  Agora responda: 
<R+>
 a) Que pontos so vrtices? 
 b) Quantas retas formam as arestas? 
 c) Quantos planos formam as faces? 
<R->
<p>
Pontos colineares 

  Observe a reta *r* que passa pelos pontos A e B. 

<F->
        r 
         
     B o
        
      
       
 A o
   
<F+>

  Podemos indicar essa reta por ~:,?{a{b*. 
  Alm de ~:,?{a{b*, no existe outra reta que passa pelos pontos A e B. 

  Por dois pontos distintos passa uma nica reta. 
<p>
  Veja outros exemplos: 
 reta *s* ou reta ~:,?{c{d* 

<F->
        r 
         
     D o
        
      
       
 C o
   
  

<97>
 reta *t* ou reta ~:,?{e{f* 

 <::::::o:::o:::::>
        E   F

 reta *u* ou reta ~:,?{g{h* 

   u
   
   o G
     
      
      o H
        
         
<F+>
<p>
  Considere agora a figura a seguir. 

<F->
           r 
            
        D o
           
      C o
          
    B o
      
     
 A o
   
<F+>

  Alm de A e de B, existem outros pontos que pertencem  reta ~:,?{a{b*? 
  A resposta para essa pergunta : Os pontos C e D pertencem  reta ~:,?{a{b*. O ponto T no pertence  reta ~:,?{a{b*. 
<p>
  Em linguagem matemtica, os smbolos , (pertence) e , (no pertence) ajudam a escrever resumidamente essas sentenas. Veja: 
<R+>
<F->
A,~:,?{a{b* 
B,~:,?{a{b*
C,~:,?{a{b*
D,~:,?{a{b*
T,~:,?{a{b*
<F+>
<R->

  Dois ou mais pontos que pertencem  mesma reta so chamados *pontos colineares*. 

  Podemos concluir que: 
<R+>
 os pontos A, B, C e D so colineares; 
 a reta *r* passa pelos pontos A, B, C e D; 
 a reta *r* no passa pelo ponto T. 
<R->
<98>
<p>
Exerccios

<R+>
_`[{para os exerccios 8, 11 a 15, pea orientao ao professor_`]

7. Que figuras esto representadas? 

<F->
  a   r 
         
          
           

x <:::::::::::>

   t i
    i
   i
  i
<F+>

8. Observe as retas *a*, *b*, *c*, *r*, *s* e *t*. _`[no representadas_`]
 a) Quais dessas retas passam pelo ponto A?
<p>
 b) Quais dessas retas passam pelo ponto B? 
 c) Quais dessas retas passam pelos pontos A e B? 

9. Observe as retas *r*, *s* e *t* e os pontos A, B, C, D e E da figura. 
<R->

<F->
                  t
     C       B   D
r <::o:::::::o::::o::>
              
             
          A    E
s <::::::::o::::o:::::>
          
         
<F+>

  Agora responda: 
<R+>
 a) Que pontos pertencem  reta *r*?
 b) Que pontos pertencem  reta *s*? 
 c) Que pontos pertencem  reta *t*? 
 d) Que ponto(s) (so) colinear(es) com B e D? 
<p>
10. Observe os cinco pontos, A, B, C, D e E. 

<F->
   o   o
   A   B
 o       o
 E       C
     o
     D
<F+>

<R+>
  Quantas retas podemos construir passando por dois desses pontos? Quais?

  Para os exerccios 11 a 15, examine a figura. _`[no representada_`]
<99>

11. Dos pontos destacados, quais pertencem  reta *s*? 
 12. Das retas desenhadas, quais passam pelo ponto J? 
 13. Os pontos A, G, H e C so colineares? 
 14. Os pontos A, B, C e D so colineares? 
<p>
15. Classifique cada item como certo ou errado. 
 a) C,u 
 b) C,v
 c) C,t
 d) E,r 
 e) E,v 
 f) E,~:,{b{f* 
<R->

Matemtica em notcia 

  Voc j deve ter ouvido falar que a gua potvel do planeta, que sempre foi pouca, est se tornando escassa. 
  A seguir esto algumas informaes sobre desperdcio e economia desse bem natural. Leia-as e depois responda s perguntas. 

<R+>
Faa as contas e calcule como 
  voc pode economizar o planeta 
<R->

_`[{quadro 1_`]
  Uma torneira pingando uma gota de gua por segundo desperdia 16.500 litros por ano. Se 
<p>
10.000 famlias evitarem esse gasto em casa, a gua economizada abasteceria por um dia toda a populao de So Lus do Maranho. 
  
_`[{quadro 2_`]
  Se voc e mais 5 amigos escovarem os dentes com a torneira fechada economizaro 122 litros de gua pura por dia.  o suficiente para a higiene e hidratao diria de uma criana. 

_`[{quadro 3_`]
  O uso da vassoura hidrulica gasta, em 15 minutos, 36 litros de gua limpa. Quem lava a calada uma vez por semana joga fora 1.728 litros por ano e, em 20 anos, 34.560 litros. Essa gua 
<p>
mataria a sede de uma pessoa por 47 anos. 

<R+>
(*Voc S/A, ago. 2008, n.o 122*.) 
<R->

<R+>
<F->
a) Se o desperdcio  de uma gota por segundo, quantas gotas de gua limpa so perdidas em um ano? 
b) Releia o quadro 1 e responda: 
 Quantas gotas aproximadamente tem um litro de gua? 
 Quantos litros de gua a populao de So Lus do Maranho gasta por dia? 
c) De acordo com o quadro 2, quanto de gua pura uma pessoa economiza por ms se escovar os dentes com a torneira fechada? 
d) H um pequeno erro nos dados do quadro 3. Para encontr-lo responda: Quantas semanas h em um ano? Se uma vassoura hidrulica (esguicho) gasta 36 litros de gua limpa quando usada por 15 minutos uma vez por semana, quantos litros de gua so jogados fora por ano? E em 20 anos? 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
             
<p>
<100> 
Captulo 6- Semirreta e 
  segmento de reta

Semirreta

  Usando o geoplano e barbantes coloridos, vamos marcar uma reta *r*, que passa pelo ponto O. 

<F->
 r 
    
     
      
       o O
        
         
<F+>

  Observe que o ponto O determina sobre a reta duas partes. 

<F->
 r 
     
      
       
        o O
<F+>
<P>
<F->
  o O
   
    
 r 
<F+>

  Cada uma dessas partes -- Or e Or --  uma semirreta. 

<F->
 r 
     
      
       
        o O (origem)
            
          
       r 
<F+>

Or :> L-se; " erre linha".
Or :> L-se: " erre duas li-
  nhas".
<F+>

  Or e Or so semirretas opostas. 

  O ponto O  a origem da semirreta Or e  tambm origem da semirreta Or. 

  Em uma reta, um ponto determina duas semirretas opostas. O ponto  a origem das duas semirretas. 
<101>

  Observe a reta *r* passando pelos pontos O, A e B. 

<F->
 r   A  O   B   r
 <::::o::o:::o:::::>
<F+>

  Podemos indicar por: 
<R+>
 :,?{o{a* a semirreta de origem em O que contm o ponto A; 
 :,?{o{b* a semirreta de origem em O que contm o ponto B. 
<R->

Segmento de reta

<R+>
_`[{quatro fotos: caixa de fsforos; pirmides do Egito; dois balanos presos a uma rvore; um jogo de varetas_`]
<R->
  
  Observe onde podemos encontrar segmentos de reta: 
<F->
 Nas arestas de cada caixa 
 Nas arestas de uma pirmide 
<P>
 Nas varetas coloridas 
 Nos fios de um balano 
<F+>
<102>
  Para entender melhor o conceito geomtrico de segmento de reta, leia com ateno as explicaes a seguir. 

Interseo de conjuntos 

  Observe o conjunto A, formado pelas letras da palavra *azul*, e o conjunto B, formado pelas letras da palavra *anil*: 
 A=~la, z, u, l_, 
 B=~la, n, i, l_, 
  As letras *a* e *l* aparecem nos dois conjuntos; *u* e *z* esto s em A; *n* e *i* esto s em B. Representando num diagrama, temos: 
<p>  
_`[{diagrama adaptado_`]

<F->
        !:::::::::::
        l           _
   !::::r:::    n  _
   l u  l l _       _
A l    l   _       _ B
   l z  l a _       _
   h::::r:::j    i  _
        l           _
        h:::::::::::j
<F+>

  Vamos considerar os elementos que esto em A e tambm em B e formar um novo conjunto, C: 
 C=~la, l_, 
  O conjunto C  chamado interseo de A e B. Indicamos da seguinte maneira: 
 C=A_B (L-se: A 
  inter B.) 
 A_B=~la, l_, 
<p>
Interseo de semirretas 

  Usando o geoplano e dois barbantes coloridos, podemos construir uma reta passando pelos pontos A e B: 

<F->
         r
       
   B o
     
 A o
   
  
 
<F+>

  Observe as semirretas :,?{a{b*  e :,?{a{b*. A interseo das semirretas :,?{a{b* e :,?{a{b*  o pedao de reta :,?{a{b*. 
  A interseo de :,?{a{b* com :,?{a{b*  chamada segmento de reta e  representada por ^c?{a{b*. 
<103>
  Dizemos que: 
<R+>
 a reta :,?{a{b* ou *r*  a reta suporte do segmento ^c?{a{b*; 
<p>
 os pontos A e B so as extremidades do segmento ^c?{a{b*, e os demais pontos de ^c?{a{b* so seus pontos internos. 
<R->
  Observe, agora, as imagens de outros segmentos. 

<F->
M             N
o:::::::::::::o

^c?{m{n* ou ^c?{n{m*

 C
 
  
   
    
      D

^c?{c{d* ou ^c?{d{c*
<p>
l R
l
l
l
l
l S

^c?{r{s* ou ^c?{s{r*

      F
    
   
  
 
 E

^c?{e{f* ou ^c?{f{e*
<F+>
<p>
Exerccios

<R+>
<F->
_`[{para os exerccios a seguir pea orientao ao professor_`]

16. No seu caderno, desenhe uma reta *t* e marque sobre ela dois pontos: P e Q. 
a) Pinte de vermelho a semirreta :,?{p{q*. 
b) Pinte de azul a semirreta :,?{q{p*. 
c) Qual  a interseo dessas semirretas?  

17. Observe as figuras a seguir. 
<F+>
<R->

<F->
1)
     A      B
 <:::o::::::o:::>

2)
     o B
     
    
   o A
  
   
<p>
3)
    A l 
       l
       l
       l
       l
    B l   

4)
       
      
   B o
        
         
      A o

<F+>
  Agora identifique pelo nmero: 
<F->
a) semirreta :,?{b{a*  
b) semirreta :,?{a{b* 
c) reta ~:,?{a{b* 
d) segmento ^c?{a{b*
<F+>
<104>
<p>
18. Observe a figura. 
  
<F->
     r
    
    o R
      
       
       o S
         
          
            s
<F+>

  Agora responda: 
<R+>
<F->
a) Quantas semirretas voc pode identificar nessa figura? Quais so?  
b) E quantos segmentos de reta? Quais so? 
<p>
19. Copie a figura a seguir no caderno e pinte com cores diferentes as semirretas de origem O. 
<F->

s          
          
         
        
       
    O x
       
        
         
          
t          

20. Observe a figura e responda s perguntas a seguir. 

<F->
      A    B    C
 <::::o::::o::::o::::> s
<F+>

<F->
a) Quantas semirretas da reta *s* com origem em B podemos obter? 
<P>
b) Qual  a origem da semirreta :,?{a{c*?  
c) Quantas semirretas da reta *s* podemos obter com origem em A, B ou C?  

21. So dados a reta *r* e trs pontos distintos dessa reta: X, Y e Z, nessa ordem. 
a) Quantas semirretas de *r* com origem nos pontos X, Y e Z podemos obter? 
b) Quais so os segmentos com extremidades em dois desses pontos que podemos obter? 
c) O ponto Y  o ponto interno de qual dos segmentos obtidos no item b)? Quais so as extremidades desse segmento? 

22. Trace uma reta *x* e considere, nessa reta, 5 pontos distintos: A, B, C, D e E. 
a) Quantas semirretas de *x* existem com origem nesses pontos? 
<p>
b) Quantos e quais so os segmentos de reta com extremos nesses pontos?  
c) Quais desses segmentos tm uma extremidade no ponto B?  

23. Copie os pontos a seguir em seu caderno.
<F+>

<F->
  o  o
  A  B
o      o
E      C
    o
    D
<F+>

  A seguir, desenhe todos os segmentos de reta que tm extremidades nos pontos A, B, C, D e E. Quais so eles?  
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
<105>
<p>
Captulo 7- ngulos 

O que  ngulo? 

  As figuras a seguir transmitem a ideia de ngulo. 

<R+>
_`[{quatro figuras: relgio, 
  bandeirinhas, trave de gol 
  e mesa_`]

 O ponteiro de horas e o de minutos de um relgio.
 As pontas das bandeirinhas.
 O canto da trave do gol. 
 A ponta de uma mesa. 
<R->

  Vejamos agora o conceito de ngulo em Geometria.  
<p>
  Observe a figura a seguir, formada pelas semirretas :,?{o{a* e :,?{o{b*, no opostas.
  
<F-> 
        i a
       i
  A o
     i
    i
O 
    e
     e
   Bo
       e
        e b

  O ponto O  origem da semirreta :,?{o{a* e tambm  origem da semirreta :,?{o{b*. 
  As semirretas :,?{o{a* e :,?{o{b* formam um ngulo: o ngulo :?{a{o{b*. 

  A reunio de duas semirretas distintas e de mesma origem  um ngulo. 
<p>
  O ponto O  o vrtice do ngulo :?{a{o{b*. 
  As semirretas :,?{o{a* e :,?{o{b* so os lados do ngulo :?{a{o{b*.
  Observe mais alguns exemplos de ngulos: 

<F->
   a          b
            
           
          
         
         O

<F->
<R+>
ngulo: :?a{ob* ou :?b{oa* 
vrtice: O 
lados: :,?{oa* e :,?{ob*
<R->

   l
   l
A o
   l
   l
   l
P v----o--
        B
<p>
<R+>
ngulo: :?{a{p{b* ou :?{b{p{a*
vrtice: P
lados: :,?{p{a* e :,?{p{b* 
<R->

   
R o
     
      
       
     S --------o---
                 T 
<F+>

<R+>
ngulo: :?{r{s{t* ou :?{t{s{r*
 vrtice: S 
 lados: :,?{s{r* e :,?{s{t* 
<R->
<F+>
<106>

ngulo reto

  Vamos observar o movimento do ponteiro de segundos de um relgio. Ele vai partir da marca 12 e dar uma volta completa no mostrador. Observemos sua posio em quatro momentos diferentes: 
<p>
<F->
<R+>
Incio _`[o ponteiro est no 12_`]
Aps 15 segundos _`[o ponteiro est no 3_`]
Aps 30 segundos _`[o ponteiro est no 6_`]
Aps 60 segundos _`[o ponteiro retorna ao 12_`]
<R->
<F+>

  Em 15 segundos o ponteiro anda #,d de volta. O ngulo formado pela posio inicial do ponteiro e por sua posio 15 segundos depois  um ngulo reto. 
  Em outras palavras: ngulo reto  o ngulo varrido pelo ponteiro dos segundos em 15 segundos. Observe nas figuras a seguir outras possibilidades de ngulo reto no relgio: 

<F->
12         pccccc  3
l           l
l           l
l           l
l           l
v----- 3   6
<F+>
<P>
  Veja alguns objetos que transmitem a ideia de ngulo reto: 

<F->
!:::::::
l !::: _
l l   _ _
l l   _ _
l l   _ _
l l   _ _
l h:::j _
h:::::::j

!::::::::::::::::::::::
l                      _
l                      _
l                      _
l !:::  !:::: !:::: _
l l   _  l    _ l    _ _
l l   _  l    _ l    _ _
l l   _  h::::j h::::j _
l l   _                _
h::::::::::::::::::::::j
<F+>
<107>
<p>
ngulo formado por retas 

  Observe as retas da figura a seguir. 

<R+>
_`[{retas desenhadas sobre um geoplano_`]
<R->

<F->
    t            u
      A        l
r <:::o:::::::::o:::>
                l
                o C
                l
                o D
            B  l
s <::::::::o::::l::::>
                l
<F+>

  Pelo fato de estarem todas no mesmo geoplano, essas retas so *coplanares*. 
  Vamos observar especialmente as retas *r* e *s*, que so coplanares. Por mais que as prolonguemos, elas nunca iro se encontrar. 
<p>
Por essa razo, *r* e *s* so retas paralelas. 

  Retas paralelas so duas retas coplanares que no se interceptam, ou seja, no tm ponto de encontro. 

  Observe agora as retas *t* e *r*. Elas so coplanares e se cortam no ponto A. 
  Por essa razo, *t* e *r* so retas *concorrentes*. Da mesma forma, tambm so retas concorrentes *t* e *s*, *u* e *r*, *u* e *s*. 

  Retas concorrentes so duas retas coplanares que tm um nico ponto de interseo (ou de cruzamento, ou de encontro). 

  Agora, pense: *t* e *u* so retas concorrentes ou paralelas? 
<p>
  Quando duas retas so concorrentes, elas formam quatro ngulos. Veja: 

<F->
      t
      
       
        
r <::::::::::::>
          
           
            
              

        l u
        l  
        l 
        l  
r ::::::r::::::
        l 
        l  
        l 
        l  
<F+>

  Na primeira figura, *t* e *r* formam quatro ngulos, mas nenhum 
<P>
deles  ngulo reto. Nesse caso, as retas so *oblquas*. 
  Na segunda figura, *u* e *r* formam quatro ngulos e todos so ngulos retos. Nesse caso, as retas so *perpendiculares*. 
<108>

Exerccios 

24. Observe a figura. 

<F->
        l
        l
      B
       l
       l 
      l
      l
 Ax    l
      l 
      l
       l
       l
      C
        l 
        l  
<F+>
<p>
  Agora responda: 
<R+>
<F->
a) Quais so os lados do ngulo :?{b{a{c*?
b) Qual  o vrtice do ngulo de lados :,?{b{a* e :,?{b{c*?
c) Quais so os lados do ngulo :?{b{c{a*?

25. Na figura a seguir esto destacados dois ngulos. 

_`[*x*, *y* so ngulos em destaque_`]

       D
       ie
      ix e 
     i    e
 E i      e C
   i      e
        y
      --
      A B

a) Quais so eles?  
b) Quais so seus vrtices? 
c) Quais so seus lados? 

26. Em qual dos horrios a seguir encontramos ngulo reto formado pelos ponteiros das horas e dos minutos de um relgio? 
a) 13 h 
b) 16 h 
c) 19 h 
d) 21 h 
<F+>
<R->

27. Analise a figura. 

<F->
     bl     dl
     l      l
     l      l
a <:::v:::>  l
      l     l
      l     l
      l     l
      l     l
      l     l
      l     l
      l   c<:v::::::>
             l
             l  e
<F+>

<R+>
<F->
  Agora, reproduza no caderno a tabela a seguir e complete-a, indicando a posio de uma reta em relao  outra. Veja os exemplos. 

_`[{legenda:
   -- no h relao de uma reta com ela mesma
  con -- concorrentes
  par -- paralelas_`]
<F+>
<R->

     !::::::::::::::::::::::::
     l a   _ b   _ c   _ d   _ e   
 :::::r:::::w:::::w:::::w:::::w::::
  a  l  _ con _ par _ ''' _ ''' 
 :::::r:::::w:::::w:::::w:::::w::::
  b  l con _  _ ''' _ ''' _ ''' 
 :::::r:::::w:::::w:::::w:::::w::::
  c  l par _ ''' _  _ ''' _ ''' 
 :::::r:::::w:::::w:::::w:::::w::::
  d  l ''' _ ''' _ ''' _  _ ''' 
 :::::r:::::w:::::w:::::w:::::w::::
  e  l ''' _ ''' _ ''' _ ''' _  
 :::::j:::::j:::::j:::::j:::::j::::

<R+>
<F->
28. Observe a planta do centro de uma cidade _`[no representada_`] e copie-a em seu caderno. 
<p>
  Desenhe a trajetria de um carro que parte de X pela rua 1, vira a terceira rua  direita, vira a segunda  esquerda, vira a primeira  direita, segue em frente 7 quarteires, vira  direita e a segunda  direita e anda mais 2 quarteires. 
a) Em que cruzamento o carro vai parar? 
b) Quantos ngulos retos existem no trajeto feito pelo carro? 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<109>

<R+>
<F->
29. Em quanto tempo o ponteiro dos minutos varre um ngulo reto? 
30. Quanto tempo o ponteiro dos segundos gasta para percorrer um ngulo reto? 
31. Em quanto tempo o ponteiro das horas percorre um ngulo reto? 
<F+>
<R->
<p>
Matemtica em notcia 

  Leia esta matria, publicada na revista *Superinteressante*, e responda s perguntas a seguir. 

Quantas calorias equivalem a 1 
  quilo? 

  Cerca de 8 mil. Essa  a quantidade extra de energia que voc precisaria consumir para engordar 1 quilo. E no tem que ser de uma vez. Um homem adulto, que gasta cerca de 2.500 calorias por dia para manter o corpo funcionando, teria que comer o dobro do que precisa por cerca de 3 dias. Ou 1.000 calorias extras dirias por uma semana. Parece muito, mas alcanar essa marca  mais fcil que parece (veja a simulao a seguir). Difcil mesmo  perder esse mesmo 1 quilo. A lgica se mantm, s que, desta vez, voc ter que economizar 8 mil calorias, descontadas da sua cota diria de comida. E, como no d pra eliminar 1.000 calorias por dia da sua dieta, o caminho de volta vai ser bem mais demorado. Agora tudo faz sentido, no? 

<R+>
_`[{tabela adaptada. Contedo a seguir_`]
<R->
Dieta de Engorda

  Se, alm da sua cota de calorias diria, voc se permitir as escapadelas a seguir, vai engordar 1 quilo em apenas uma semana.

<R+>
 Segunda: 1 pacote de bolachas --
  -- 757 cal + 1 suco de laranja -- 115 cal = 872 cal
 tera: 3 pedaos de pizza -- 900 cal + 1 lata de refrigerante -- 150 cal = 1.050 cal
 quarta: 1 pacote de batatinhas -- 415 cal + #,b barra de chocolate -- 500 cal = 915 cal
 quinta: #,b poro de batata frita -- 500 cal + 3 copos de chope -- 540 cal = 1.040 cal
 sexta: 1 hot dog completo -- 740 cal + 4 latas de cerveja -- 600 cal = 1.340
 sbado: hambrger e batata frita -- 916 cal + 1 refrigerante grande -- 200 cal = 1.116 cal
 domingo: 6 salgadinho de festa -- 1.080 cal + 6 brigadeiros de festa -- 300 cal = 1.380 cal
 Total de calorias = 7.713 cal
 _`[{fim da tabela_`]
<R->

(*Superinteressante*, ago. 
  2008.) 

<R+>
 a) Para engordar 1 quilo em uma semana bastam 1.100 calorias extras dirias, muito fceis de serem alcanadas pelo exemplo dado. Submetendo-se a uma dieta de no mximo 2.000 calorias dirias, em quanto tempo um homem adulto pode emagrecer 1 quilo?  
 b) Quantas calorias somam uma refeio composta de 4 pedaos de pizza, 1 refrigerante gran-
<p>
  de, 3 brigadeirinhos de festa e meia barra de chocolate? 
<R->
<110>

Teste seu conhecimento 

<R+>
<F->
1. Em qual das alternativas a seguir h a ideia de ponto? 
a) o muro da escola 
b) a lousa 
c) uma quadra de basquete 
d) uma estrela no cu 

2. Em qual das seguintes alternativas a forma indicada  mais prxima de segmento de reta? 
a) uma quadra de vlei 
b) uma bola de futebol 
c) a linha que divide o campo de futebol ao meio 
d) a linha da meia-lua do campo de futebol 

3. Em qual das seguintes alternativas a forma indicada  mais prxima de ngulo? 
a) os ponteiros de um relgio 
b) a ponta-seca de um compasso 
<p>
c) a parte de cima de uma mesa 
d) um lpis 

4. Numa reta *r* marcamos trs pontos distintos: A, B e C. Indique a alternativa correta. 
a) S existe uma semirreta de *r* com origem no ponto A. 
b) Existem trs semirretas de *r* com origem no ponto B. 
c) As semirretas :,?{a{b* e :,?{b{a* no tm ponto em comum. 
d) Existem duas semirretas de *r* com origem no ponto C. 
<F+>
<R->

Desafio

Brincando com quatro 
  quatros 

  Utilizando quatro algarismos 4, quantos sinais de operaes quiser e quantos parnteses quiser construa uma expresso numrica: 
<R+>
 a) cujo valor seja igual a 9; 
<p>
 b) que resulte em 3; 
 c) cujo resultado seja igual a 4. 
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Segunda Parte

